ΝΕΑ ΥΟΡΚΗ - Παρά την ύπαρξη για περισσότερα από 2.000 χρόνια, η έννοια του άπειρου έχει υπομείνει ως μια αινιγματική και συχνά προκλητική ιδέα για τους μαθηματικούς, τους φυσικούς και τους φιλοσόφους. Το άπειρο υπάρχει πραγματικά, ή είναι απλά μέρος του υφάσματος της φαντασίας μας;
Μια ομάδα επιστημόνων και μαθηματικών συγκεντρώθηκαν για να συζητήσουν μερικές από τις βαθιές ερωτήσεις και αντιπαραθέσεις γύρω από την έννοια του άπειρου εδώ την Παρασκευή (31 Μαΐου), ως μέρος του World Science Festival, ετήσια γιορτή και εξερεύνηση της επιστήμης.
Μέρος της δυσκολίας στην προσπάθεια επίλυσης ορισμένων αφηρημένων ερωτημάτων που σχετίζονται με το άπειρο είναι ότι αυτά τα προβλήματα ξεπερνούν τις πιο καθιερωμένες μαθηματικές θεωρίες, δήλωσε ο William Hugh Woodin, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας του Berkeley.
"Είναι σαν τα μαθηματικά να ζουν σε ένα σταθερό νησί - έχουμε δημιουργήσει μια σταθερή βάση", δήλωσε ο Woodin. "Τότε, υπάρχει η άγρια γη εκεί έξω, αυτό είναι το άπειρο".
Από όπου όλα άρχισαν
Ένας φιλόσοφος ονόματι Ζήνο της Ελεάς, που έζησε από το 490 π.Χ. σε 430 π.Χ., πιστώνεται με την εισαγωγή της ιδέας του άπειρου.
Η έννοια αυτή μελετήθηκε από τους αρχαίους φιλοσόφους, συμπεριλαμβανομένου του Αριστοτέλη, ο οποίος αμφισβήτησε αν τα άπειρα μπορούν να υπάρξουν σε έναν φαινομενικά πεπερασμένο φυσικό κόσμο, δήλωσε ο Φίλιπ Κλέιτον, κοσμήτορας της Σχολής Θεολογίας Claremont στο Πανεπιστήμιο Claremont Lincoln στο Claremont της Καλιφόρνια, χρησιμοποίησε το άπειρο για να εξηγήσει τη σχέση μεταξύ ανθρώπων, Θεού και φυσικού κόσμου.
Στη δεκαετία του 1870, ένας γερμανός μαθηματικός με το όνομα Georg Cantor πρωτοστάτησε σε ένα πεδίο που έγινε γνωστό ως θεωρία των συνόλων. Σύμφωνα με τη θεωρία των συνόλων, οι ακέραιοι αριθμοί χωρίς αριθμητικό κλάσμα ή δεκαδικό στοιχείο (όπως 1, 5, -4) συνθέτουν ένα άπειρο σύνολο που μετράται. Από την άλλη πλευρά, οι πραγματικοί αριθμοί, που περιλαμβάνουν ακέραιους αριθμούς, κλάσματα και αποκαλούμενους παράλογους αριθμούς, όπως η τετραγωνική ρίζα των 2, αποτελούν μέρος ενός άπειρου συνόλου που είναι αμέτρητο.
Αυτό οδήγησε τον Cantor να αναρωτιέται για διαφορετικούς τύπους άπειρων.
"Αν υπάρχουν τώρα δύο είδη άπειρων - το αμέτρητο είδος και αυτό το συνεχές είδος, που είναι μεγαλύτερο - υπάρχουν και άλλα ατελείωτα; Υπάρχει κάποιο άπειρο που είναι σάντουιτσα ανάμεσα τους;" δήλωσε ο Steven Strogatz, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Cornell στην Ιθάκη, Ν.Υ.
Ο Καντόρ πίστευε ότι δεν υπάρχουν απεριόριστα μεταξύ των συνόλων ακεραίων και πραγματικών αριθμών, αλλά ποτέ δεν ήταν σε θέση να το αποδείξει. Η δήλωσή του, ωστόσο, έγινε γνωστή ως η υπόθεση του συνεχούς, και οι μαθηματικοί που αντιμετώπισαν το πρόβλημα στα βήματα του Καντόρ είχαν χαρακτηριστεί θεωρητικοί.
Εξερευνώντας πέρα
Ο Woodin είναι ένας θεωρητικός και έχει περάσει τη ζωή του προσπαθώντας να λύσει την υπόθεση του συνεχούς. Μέχρι σήμερα, οι μαθηματικοί δεν μπόρεσαν να αποδείξουν ή να διαψεύσουν την υποψία του Cantor. Μέρος του προβλήματος είναι ότι η ιδέα ότι υπάρχουν περισσότεροι από δύο τύποι άπειρων είναι τόσο αφηρημένος, είπε ο Woodin.
"Δεν υπάρχει δορυφόρος που μπορείτε να χτίσετε για να βγείτε έξω και να μετρήσετε την υπόθεση συνεχούς", εξήγησε. "Δεν υπάρχει τίποτα στον κόσμο μας γύρω μας που θα μας βοηθήσει να προσδιορίσουμε αν η υπόθεση του συνεχούς είναι αληθής ή ψευδής, από όσο γνωρίζουμε".
Πιο δύσκολο είναι το γεγονός ότι ορισμένοι μαθηματικοί έχουν απορρίψει τη συνάφεια αυτού του τύπου μαθηματικού έργου.
"Αυτοί οι άνθρωποι στη θεωρία των συνόλων μας απειλούν, ακόμα και στα μαθηματικά, ως κάτι παράξενο", αστειεύτηκε ο Strogatz. Αλλά, είπε ότι κατανοεί τη σπουδαιότητα του έργου που επιτελείται από τους θεωρητικούς, διότι αν η υπόθεση του συνεχούς αποδειχθεί ψευδής, θα μπορούσε να ξεριζώσει τις βασικές μαθηματικές αρχές με τον ίδιο τρόπο που η αντιφατική θεωρία των αριθμών θα εξάλειψε τις βάσεις για τα μαθηματικά και τη φυσική.
"Γνωρίζουμε ότι κάνουν πολύ βαθιά, σπουδαία δουλειά και, κατ 'αρχήν, είναι θεμελιώδες έργο", εξήγησε ο Strogatz. «Ανακατεύουν τα θεμέλια που όλοι δουλεύουμε, στον δεύτερο και στον τρίτο όροφο. Αν ανακατωθούν κάτι, θα μπορούσαν να μας οδηγήσουν ξανά».
Το μέλλον των μαθηματικών
Παρόλα αυτά, παρά τις αβεβαιότητες, το έργο που επιτελούν οι θεωρητικοί θα μπορούσε να έχει θετικά αποτελέσματα που θα ενισχύσουν τα θεμέλια των μαθηματικών, είπε ο Woodin.
"Με την έρευνα του άπειρου και στο βαθμό που μπορούμε να είμαστε επιτυχείς, νομίζω ότι κάνουμε την υπόθεση για τη συνέπεια της αριθμητικής", εξήγησε. "Αυτό είναι ένα κομμάτι φανατικής δήλωση, αλλά αν το άπειρο δεν οδηγεί σε μια αντίφαση, σίγουρα το πεπερασμένο δεν οδηγεί σε αντίφαση. Έτσι, ίσως με την εξερεύνηση των εξωτερικών άκρων για να δείτε αν υπάρχει μια αντίφαση, ασφάλεια."
Τα παράδοξα που χαρακτηρίζουν την έννοια του άπειρου είναι καλύτερα να εξηγούνται με τον αριθμό pi, ανέφερε ο Strogatz. Pi, μία από τις πιο αναγνωρίσιμες μαθηματικές σταθερές, αντιπροσωπεύει την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρο του. Μεταξύ των μυριάδων εφαρμογών της, το pi μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρει την περιοχή ενός κύκλου.
"Το Pi είναι χαρακτηριστικό των πραγματικών αριθμών ... στο ότι έχει αυτό το άπειρο ποσό απρόβλεπτων πληροφοριών σε αυτό, και ταυτόχρονα, είναι τόσο προβλέψιμο», είπε ο Strogatz. «Δεν υπάρχει τίποτα πιο ομαλή από έναν κύκλο που ενσωματώνει το pi - είναι το ίδιο το σύμβολο της τάξης και της τελειότητας. Έτσι αυτή η συνύπαρξη της τέλειας προβλεψιμότητας και τάξης, με αυτό το μυστηριώδες μυστήριο άπειρου αίνιγμα χτισμένο στο ίδιο αντικείμενο, είναι μέρος της ευχαρίστησης το θέμα μας και, υποθέτω, το ίδιο το άπειρο. "
