Μήπως μια ομάδα μαθηματικών έκανε ακριβώς ένα μεγάλο βήμα προς την απάντηση σε ένα ερώτημα των μαθηματικών, των 160 ετών, των εκατομμυρίων δολαρίων;
Μπορεί. Το πλήρωμα έλυσε μια σειρά από άλλα, μικρότερα ερωτήματα σε έναν τομέα που ονομάζεται θεωρία αριθμών. Και κάνοντας αυτό, ξανάνοιξαν μια παλιά λεωφόρο που θα μπορούσε τελικά να οδηγήσει σε μια απάντηση στο παλιό ερώτημα: Είναι η υπόθεση Riemann σωστή;
Η υπόθεση Reimann είναι μια θεμελιώδης μαθηματική εικασία που έχει τεράστιες επιπτώσεις για το υπόλοιπο της μαθηματικής. Αποτελεί το θεμέλιο για πολλές άλλες μαθηματικές ιδέες - αλλά κανείς δεν ξέρει αν είναι αλήθεια. Η εγκυρότητά του έχει γίνει μια από τις πιο διάσημες ανοιχτές ερωτήσεις στα μαθηματικά. Είναι ένα από τα επτά "Προβλήματα της Χιλιετίας" που διατυπώθηκαν το 2000, με την υπόσχεση ότι όποιος τους λύσει θα κερδίσει 1 εκατομμύριο δολάρια. (Μόνο ένα από τα προβλήματα έχει επιλυθεί από τότε).
Από πού προέκυψε αυτή η ιδέα;
Το 1859, ένας Γερμανός μαθηματικός, που ονομάζεται Bernhard Riemann, πρότεινε μια απάντηση σε μια ιδιαίτερα ακανθώδη μαθηματική εξίσωση. Η υπόθεσή του πηγαίνει έτσι: Το πραγματικό μέρος κάθε μη-ασήμαντου μηδενός της λειτουργίας του Riemann zeta είναι 1/2. Αυτή είναι μια αρκετά αφηρημένη μαθηματική δήλωση, που έχει να κάνει με τους αριθμούς που μπορείτε να βάλετε σε μια συγκεκριμένη μαθηματική συνάρτηση για να κάνετε αυτή τη λειτουργία ίση με μηδέν. Αλλά αποδεικνύεται ότι έχει σημασία πολλά πράγματα, κυρίως όσον αφορά το πόσο συχνά θα συναντήσετε πρωταρχικούς αριθμούς καθώς μετράτε προς το άπειρο.
Θα επανέλθουμε αργότερα στις λεπτομέρειες της υπόθεσης. Αλλά το σημαντικό πράγμα που πρέπει να γνωρίζουμε τώρα είναι ότι αν η υπόθεση Riemann είναι αληθινή, απαντά σε πολλές ερωτήσεις στα μαθηματικά.
"Τόσο συχνά στη θεωρία των αριθμών, αυτό που συμβαίνει είναι να αναλάβετε την υπόθεση Riemann, τότε είστε σε θέση να αποδείξετε όλα τα άλλα αποτελέσματα", δήλωσε η Lola Thompson, ένας θεωρητικός στο Oberlin College στο Οχάιο, ο οποίος δεν συμμετείχε σε αυτή την τελευταία έρευνα, είπε.
Συχνά, είπε στη Live Science, οι θεωρητικοί αριθμών θα αποδείξουν πρώτα ότι κάτι είναι αληθινό αν η υπόθεση Riemann είναι αληθινή. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουν αυτή την απόδειξη ως ένα είδος βήμα προς την κατεύθυνση μιας πιο περίπλοκης απόδειξης, που δείχνει ότι το αρχικό τους συμπέρασμα είναι αληθές είτε η υπόθεση Riemann είναι αληθής είτε όχι.
Το γεγονός ότι αυτό το τέχνασμα λειτουργεί, είπε, πείθει πολλούς μαθηματικούς ότι η υπόθεση Riemann πρέπει να είναι αλήθεια.
Αλλά η αλήθεια είναι ότι κανείς δεν ξέρει σίγουρα.
Ένα μικρό βήμα προς την απόδειξη;
Λοιπόν, πώς αυτή η μικρή ομάδα μαθηματικών φαίνεται να μας φέρνει πιο κοντά στη λύση;
«Αυτό που κάναμε στο χαρτί μας», δήλωσε ο Ken Ono, ένας θεωρητικός στο Πανεπιστήμιο Emory και συν-συγγραφέας της νέας απόδειξης, «επανεξετάσαμε ένα πολύ τεχνικό κριτήριο που ισοδυναμεί με την υπόθεση Riemann ... και αποδείξαμε μεγάλη ένα μέρος αυτού. Αποδείξαμε ένα μεγάλο κομμάτι αυτού του κριτηρίου. "
Ένα "κριτήριο που ισοδυναμεί με την υπόθεση Riemann", σε αυτή την περίπτωση, αναφέρεται σε μια ξεχωριστή δήλωση που είναι μαθηματικά ισοδύναμη με την υπόθεση Riemann.
Δεν είναι προφανές με την πρώτη ματιά γιατί οι δύο δηλώσεις είναι τόσο συνδεδεμένες. (Το κριτήριο έχει να κάνει με κάτι που ονομάζεται «υπερβολικότητα των πολυώνυμων Jensen»). Αλλά στη δεκαετία του 1920, ένας ουγγρικός μαθηματικός, που ονομάζεται George Pólya, απέδειξε ότι αν το κριτήριο αυτό είναι αληθινό, τότε η υπόθεση Riemann είναι αληθής - και αντίστροφα. Πρόκειται για μια παλαιά προτεινόμενη διαδρομή για την απόδειξη της υπόθεσης, αλλά αυτή που εγκαταλείφθηκε σε μεγάλο βαθμό.
Ono και οι συνάδελφοί του, σε άρθρο που δημοσιεύθηκε στις 21 Μαΐου στο περιοδικό Proceedings of the Natural Science Academy (PNAS), απέδειξαν ότι σε πολλές περιπτώσεις το κριτήριο είναι αληθές.
Αλλά στα μαθηματικά, πολλοί δεν αρκούν για να θεωρηθούν ως απόδειξη. Υπάρχουν ακόμα ορισμένες περιπτώσεις όπου δεν γνωρίζουν αν το κριτήριο είναι αληθές ή ψευδές.
"Είναι σαν να παίζεις εκατομμύρια Powerball," είπε ο Ono. "Και γνωρίζετε όλους τους αριθμούς, αλλά τους τελευταίους 20. Εάν κάποιος από τους τελευταίους 20 αριθμούς είναι λάθος, χάνετε ... Μπορεί ακόμα να υποχωρήσει."
Οι ερευνητές θα πρέπει να καταλήξουν σε μια ακόμα πιο προηγμένη απόδειξη για να δείξουν ότι το κριτήριο ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις, αποδεικνύοντας έτσι την υπόθεση Riemann. Και δεν είναι ξεκάθαρο πόσο μακριά είναι μια τέτοια απόδειξη, είπε ο Ono.
Έτσι, πόσο μεγάλη είναι αυτή η εργασία;
Όσον αφορά την υπόθεση Riemann, είναι δύσκολο να πούμε πόσο μεγάλη είναι αυτή η συμφωνία. Πολλά εξαρτώνται από το τι θα συμβεί στη συνέχεια.
"Αυτό είναι μόνο ένα από τα πολλά ισοδύναμα σκευάσματα της υπόθεσης Riemann", δήλωσε ο Thompson.
Με άλλα λόγια, υπάρχουν πολλές άλλες ιδέες που, όπως και αυτό το κριτήριο, θα αποδείξουν ότι η υπόθεση Riemann είναι αληθής αν αποδείξουν οι ίδιοι.
"Είναι δύσκολο λοιπόν να μάθουμε πόσο μεγάλη είναι αυτή η πρόοδος, διότι από τη μια πλευρά σημειώνεται πρόοδος προς αυτήν την κατεύθυνση, αλλά υπάρχουν τόσα πολλά ισοδύναμα σκευάσματα που ίσως δεν οδηγούν στην υπόθεση Riemann. τα άλλα ισοδύναμα θεωρήματα, αν κάποιος μπορεί να αποδείξει ένα από αυτά ", δήλωσε ο Thompson.
Εάν η απόδειξη εμφανιστεί κατά μήκος αυτής της διαδρομής, τότε αυτό πιθανόν σημαίνει ότι ο Ono και οι συνάδελφοί του έχουν αναπτύξει ένα σημαντικό υποκείμενο πλαίσιο για την επίλυση της υπόθεσης Riemann. Αλλά αν εμφανιστεί κάπου αλλού, τότε αυτό το έγγραφο θα αποδειχθεί λιγότερο σημαντικό.
Ακόμα, οι μαθηματικοί είναι εντυπωσιασμένοι.
"Αν και αυτό απέχει πολύ από την απόδειξη της υπόθεσης Riemann, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τα εμπρός", γράφει σε ένα συνημμένο άρθρο του PNAS στις 23 Μαΐου, Encrico Bombieri, ένας θεωρητικός του αριθμού του Princeton που δεν συμμετείχε στην έρευνα της ομάδας. "Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι αυτό το έγγραφο θα εμπνεύσει περαιτέρω θεμελιώδη εργασία σε άλλους τομείς της θεωρίας αριθμών, καθώς και στη μαθηματική φυσική."
(Ο Bombieri κέρδισε ένα Medal Fields - το πιο διακεκριμένο βραβείο στα μαθηματικά - το 1974, σε μεγάλο βαθμό για εργασίες που σχετίζονται με την υπόθεση Riemann).
Τι σημαίνει η υπόθεση Riemann ούτως ή άλλως;
Υποσχεθήκαμε να επιστρέψουμε σε αυτό. Εδώ είναι πάλι η υπόθεση Riemann: Το πραγματικό μέρος κάθε μη-ασήμαντο μηδέν της λειτουργίας zeta Riemann είναι 1/2.
Ας σπάσουμε αυτό σύμφωνα με τον τρόπο που το εξήγησαν ο Thompson και ο Ono.
Πρώτον, ποια είναι η λειτουργία του Riemann zeta;
Στο μαθηματικό, μια συνάρτηση είναι μια σχέση μεταξύ διαφορετικών μαθηματικών ποσοτήτων. Μια απλή μπορεί να μοιάζει με αυτό: y = 2x.
Η λειτουργία Riemann zeta ακολουθεί τις ίδιες βασικές αρχές. Μόνο είναι πολύ πιο περίπλοκο. Εδώ είναι αυτό που μοιάζει.
Είναι ένα άθροισμα μιας άπειρης αλληλουχίας, όπου κάθε όρος - οι πρώτοι λίγοι είναι 1/1 ^ s, 1/2 ^ s και 1/3 ^ s - προστίθενται στους προηγούμενους όρους. Αυτές οι ελλείψεις σημαίνουν ότι η σειρά στη λειτουργία συνεχίζει να συμβαίνει έτσι, για πάντα.
Τώρα μπορούμε να απαντήσουμε στο δεύτερο ερώτημα: Τι είναι το μηδέν της λειτουργίας του Riemann zeta;
Αυτό είναι ευκολότερο. Ένα "μηδέν" της συνάρτησης είναι οποιοσδήποτε αριθμός μπορείτε να βάλετε για το x που προκαλεί τη μηδενική συνάρτηση.
Επόμενη ερώτηση: Ποιο είναι το "πραγματικό μέρος" ενός από αυτά τα μηδενικά και τι σημαίνει ότι ισούται με το 1/2;
Η λειτουργία του zeta Riemann περιλαμβάνει αυτό που οι μαθηματικοί αποκαλούν «σύνθετους αριθμούς». Ένας σύνθετος αριθμός μοιάζει με αυτό: a + b * i.
Σε αυτή την εξίσωση, τα "a" και "b" αντιπροσωπεύουν κάθε πραγματικό αριθμό. Ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να είναι οτιδήποτε από μείον 3, μηδέν, έως 4.9234, pi, ή 1 δισεκατομμύριο. Αλλά υπάρχει και ένας άλλος αριθμός αριθμών: φανταστικοί αριθμοί. Φανταστικοί αριθμοί εμφανίζονται όταν παίρνετε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού και είναι σημαντικές, εμφανίζονται σε όλα τα είδη των μαθηματικών πλαισίων.
Ο απλούστερος φανταστικός αριθμός είναι η τετραγωνική ρίζα του -1, η οποία είναι γραμμένη ως "i". Πολύπλοκος αριθμός είναι ένας πραγματικός αριθμός ("a") συν έναν άλλο πραγματικό αριθμό ("b") φορές i. Το "πραγματικό μέρος" ενός πολύπλοκου αριθμού είναι ότι "α".
Λίγα μηδενικά της λειτουργίας zeta του Riemann, αρνητικοί ακέραιοι μεταξύ -10 και 0, δεν υπολογίζονται στην υπόθεση Reimann. Αυτά θεωρούνται "μηδενικά" μηδενικά επειδή είναι πραγματικοί αριθμοί, όχι σύνθετοι αριθμοί. Όλα τα άλλα μηδενικά είναι "μη τετριμμένα" και σύνθετοι αριθμοί.
Η υπόθεση Riemann δηλώνει ότι όταν η λειτουργία Zeta του Riemann διασχίζει το μηδέν (εκτός από τα μηδενικά μεταξύ -10 και 0), το πραγματικό μέρος του σύνθετου αριθμού πρέπει να ισούται με το 1/2.
Αυτός ο μικρός ισχυρισμός μπορεί να μην ακούγεται πολύ σημαντικός. Αλλά είναι. Και ίσως να είμαστε λίγο πιο έτοιμοι να το λύσουμε.
