Υπάρχει ένας νέος μεγαλύτερος γνωστός πρωταρχικός αριθμός στο σύμπαν.
Ονομάζεται M77232917 και μοιάζει με αυτό:
Παρά το γεγονός ότι είναι ένας γελοία τεράστιος αριθμός (ακριβώς αυτό το αρχείο κειμένου, το οποίο οι αναγνώστες μπορούν να κατεβάσουν εδώ, καταλαμβάνουν πάνω από 23 megabytes χώρου σε έναν υπολογιστή), το M77232917 δεν μπορεί να χωριστεί χωρίς να χρησιμοποιήσει κλάσματα. Δεν θα σπάσει σε ακέραιους αριθμούς, ανεξάρτητα από άλλους παράγοντες, μεγάλους ή μικρούς, κάποιον που τις χωρίζει. Οι μόνοι παράγοντες είναι οι ίδιοι και ο αριθμός 1. Αυτό το καθιστά πρωταρχικό.
Πόσο μεγάλο είναι αυτός ο αριθμός; Πλήρες 23,249,425 ψηφία - σχεδόν 1 εκατομμύριο ψηφία μεγαλύτερο από τον προηγούμενο κάτοχο ρεκόρ. Αν κάποιος ξεκίνησε να γράφει, 1.000 ψηφία την ημέρα, σήμερα (8 Ιανουαρίου), θα τελειώσουν στις 19 Σεπτεμβρίου 2081, σύμφωνα με κάποιους υπολογισμούς της Back-of-the-Napkin στη Live Science.
Ευτυχώς, υπάρχει ένας απλούστερος τρόπος για να γράψετε τον αριθμό: 2 ^ 77.232.917 μείον 1. Με άλλα λόγια, ο νέος μεγαλύτερος γνωστός πρωταρχικός αριθμός είναι ένας λιγότερο από 2 φορές 2 φορές 2 φορές 2 ... και ούτω καθεξής 77.232.917 φορές.
Αυτό δεν είναι πραγματικά μια έκπληξη. Τα Primes που είναι λιγότερο από μια δύναμη των 2 ανήκουν σε μια ειδική κατηγορία, που ονομάζεται Mersenne primes. Το μικρότερο πρωτάθλημα της Mersenne είναι 3, διότι είναι πρωταρχικό και επίσης λιγότερο από 2 φορές. Το Seven είναι επίσης ένα πρωτάθλημα της Mersenne: 2 φορές 2 φορές 2 μείον 1. Το επόμενο πρωτάθλημα της Mersenne είναι 31 - ή 2 ^ 5-1.
Αυτό το πρωτότυπο Mersenne, 2 ^ 77.232.917-1, εμφανίστηκε στα μεγάλα Internet Mersenne Primes Search (GIMPS) - ένα τεράστιο έργο συνεργασίας που αφορούσε υπολογιστές σε όλο τον κόσμο - στα τέλη Δεκεμβρίου 2017. Ο Jonathan Pace, 51χρονος ηλεκτρολόγος μηχανικός που ζει στο Germantown, Tennessee, ο οποίος είχε συμμετάσχει στο GIMPS για 14 χρόνια, παίρνει πίστωση για την ανακάλυψη, η οποία εμφανίστηκε στον υπολογιστή του. Τέσσερις άλλοι κυνηγοί GIMPS που χρησιμοποίησαν τέσσερα διαφορετικά προγράμματα επαλήθευαν το πρωτάθλημα κατά τη διάρκεια των έξι ημερών, σύμφωνα με την ανακοίνωση του GIMPS στις 3 Ιανουαρίου.
Το Mersenne προετοιμάζεται για να πάρει τα ονόματά τους από τον γαλλικό μοναχό Marin Mersenne, όπως εξήγησε ο ιστοχώρος του καθηγητή του Πανεπιστημίου του Tennessee Chris Caldwell. Ο Mersenne, ο οποίος έζησε από το 1588 έως το 1648, πρότεινε ότι το 2 ^ n-1 ήταν πρωταρχικό όταν το n ισούται με 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 και 257, μικρότερη από 257 (2 ^ 257-1).
Αυτό ήταν ένα πολύ καλό μαχαίρι σε μια απάντηση από έναν μοναχό που εργαζόταν τρεισήμισι αιώνες πριν από την αυγή του σύγχρονου λογισμικού πρώτης επίλυσης - και μια μεγάλη βελτίωση σε σχέση με τους συγγραφείς πριν από το 1536, που πίστευαν ότι 2 πολλαπλασιάστηκε από μόνη της πρωταρχικός αριθμός φορές μείον 1 θα είναι πρωταρχικής σημασίας. Αλλά δεν ήταν σωστό.
Ο μεγαλύτερος αριθμός της Mersenne, 2 ^ 257-1 - επίσης γραμμένος ως 231,584,178,474,632,390,847,141,970,017,375,815,706,539,969,331,281,128,078,915,168,015,826,259,279,871, δεν είναι στην πραγματικότητα πρωταρχικός. Και έχασε λίγα: 2 ^ 61-1, 2 ^ 89-1 και 2 ^ 107-1 - αν και οι δύο τελευταίες δεν ανακαλύφθηκαν παρά στις αρχές του 20ου αιώνα. Ακόμα, 2 ^ n-1 αρχέτυπα φέρουν το όνομα του γαλλικού μοναχού.
Αυτοί οι αριθμοί είναι ενδιαφέροντες για μερικούς λόγους, αν και δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι. Ένας μεγάλος λόγος: Κάθε φορά που κάποιος ανακαλύπτει ένα πρωτάθλημα της Mersenne, ανακαλύπτουν επίσης έναν τέλειο αριθμό. Όπως εξήγησε ο Caldwell, ένας τέλειος αριθμός είναι ένας αριθμός που είναι ίσος με το άθροισμα όλων των θετικών διαιρετών του (εκτός από τον εαυτό του).
Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι 6, ο οποίος είναι τέλειος, διότι 1 + 2 + 3 = 6 και 1, 2 και 3 είναι όλοι οι 6 θετικοί διαιρέτες. Η επόμενη είναι 28, η οποία ισούται με 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Μετά από αυτό έρχεται 494. Ένας άλλος τέλειος αριθμός δεν εμφανίζεται μέχρι 8.128. Όπως επεσήμανε ο Caldwell, αυτά είναι γνωστά από την εποχή του "πριν από την εποχή του Χριστού" και έχουν πνευματική σημασία σε ορισμένους αρχαίους πολιτισμούς.
Αποδεικνύεται ότι το 6 μπορεί επίσης να γραφτεί ως 2 ^ (2-1) χ (2 ^ 2-1), 28 μπορεί να γραφεί ως 2 ^ (3-1) χ (2 ^ 3-1), 494 ισούται με 2 ^ (5-1) χ (2 ^ 5-1), και 8,128 είναι επίσης 2 ^ (7-1) χ (2 ^ 7-1). Δείτε το δεύτερο κομμάτι αυτών των εκφράσεων; Αυτά είναι όλα τα Mersenne primes.
Ο Caldwell έγραψε ότι ο μαθηματικός του 18ου αιώνα Leonhard Euler απέδειξε ότι δύο πράγματα είναι αληθινά:
- "k είναι ένας ακόμη τέλειος αριθμός εάν και μόνο αν έχει τη μορφή 2n-1 (2n-1) και 2n-1 είναι prime".
- "Αν 2n-1 είναι prime, τότε είναι n."
Με όρους, αυτό σημαίνει ότι κάθε φορά που εμφανίζεται ένα νέο πρωτάθλημα της Mersenne, το κάνει και ένας νέος τέλειος αριθμός.
Αυτό ισχύει και για το M77232917, αν και ο τέλειος αριθμός του είναι πολύ, πολύ μεγάλος. Το τέλειο δίδυμο της μεγάλης πρώτης κατηγορίας, το GIMPS δήλωσε στη δήλωσή του, ισούται με 2 ^ (77,232,917-1) x (2 ^ 77,232,917-1). Το αποτέλεσμα είναι 46 εκατομμύρια ψηφία μήκους:
(Είναι ενδιαφέρον ότι όλοι οι γνωστοί τέλειοι αριθμοί είναι ακόμη, συμπεριλαμβανομένου αυτού, αλλά κανένας μαθηματικός δεν έχει αποδείξει ότι ένα περίεργο δεν θα μπορούσε να υπάρξει. Ο Caldwell έγραψε ότι αυτό είναι ένα από τα παλαιότερα άλυτα μυστήρια των μαθηματικών.)
Πόσο σπάνια είναι αυτή η ανακάλυψη;
Το M77232917 είναι ένας τεράστιος αριθμός, αλλά είναι μόνο το 50ο γνωστό πρωτάθλημα της Mersenne. Ίσως δεν είναι η 50η Mersenne σε αριθμητική σειρά, αν και? Ο GIMPS έχει επαληθεύσει ότι δεν υπάρχουν ελλείποντα Mersennes μεταξύ 3 και 45 Mersenne (2 ^ 37,156,667-1, ανακαλύφθηκαν το 2008), αλλά οι γνωστές Mersennes 46 έως 50 μπορεί να έχουν παραλείψει κάποια άγνωστα παρεμβατικά Mersennes που δεν έχουν ακόμη ανακαλυφθεί.
Ο GIMPS είναι υπεύθυνος για όλα τα 16 Mersennes που ανακαλύφθηκαν από τότε που δημιουργήθηκε το 1996. Αυτά τα αρχικά δεν είναι αυστηρά "χρήσιμα" ακόμα, στο βαθμό που κανείς δεν έχει βρει χρήση γι 'αυτά. Αλλά ο ιστοχώρος του Caldwell υποστηρίζει ότι η δόξα της ανακάλυψης θα πρέπει να είναι αρκετός λόγος, αν και ο GIMPS ανακοίνωσε ότι ο Pace θα λάβει ένα βραβείο αξίας $ 3.000 για την ανακάλυψή του. (Αν κάποιος ανακαλύψει ένα πρωταρχικό αριθμό 100 εκατομμυρίων ψηφίων, το έπαθλο είναι $ 150.000 από το Ίδρυμα Electronic Frontiers. Το πρώτο 1 δισεκατομμύριο ψηφιακό πρωτάθλημα αξίζει $ 250.000).
Μακροπρόθεσμα, ο Caldwell έγραψε, ανακαλύπτοντας περισσότερα αρχέτυπα θα μπορούσαν να βοηθήσουν τους μαθηματικούς να αναπτύξουν μια βαθύτερη θεωρία του πότε και γιατί αρχίζουν να εμφανίζονται. Αυτή τη στιγμή, όμως, απλά δεν ξέρουν, και εξαρτάται από προγράμματα όπως το GIMPS να ψάχνουν χρησιμοποιώντας ακατέργαστη υπολογιστική δύναμη.
