Η φυσική μου αίσθηση μου λέει ότι η ταχύτητα της ρίψης είναι η ταχύτητα διαφυγής.
Αυτή η ελαχιστοποίηση μπορεί να λειτουργήσει καλύτερα με μια αναλογία της συνολικής ενεργειακής μεταβολής του αστεροειδούς συστήματος συν του εκτοξευόμενου υλικού προς την ενέργεια του εξαγόμενου υλικού. Η εξίσωση πυραύλων έχει κάποια βοήθεια. Η εξίσωση πυραύλων είναι μια διατήρηση του αποτελέσματος ορμής με
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
όπου V είναι η ταχύτητα μάζας αντίδρασης, τα v και? m είναι η μεταβολή της ταχύτητας και της απώλειας μάζας του «πυραύλου», ή στην περίπτωση αυτή ο αστεροειδής, και τα m και v είναι η αρχική μάζα και ταχύτητα του αντικειμένου. Ορίζουμε v = 0 και παίρνουμε
? v = V (? m / m)
και η ταχύτητα που είναι ενσωματωμένη είναι v = V ln (m_i / m_f), για m_i την αρχική μάζα και m_f την τελική μάζα. Εάν η αλλαγή μάζας είναι μικρή, έχουμε
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
και η ορμή του αστεροειδούς στο τέλος είναι p ~ = V (m_i - m_f). Αφήνουμε τώρα V = u - v_e, για v_e την ταχύτητα διαφυγής και u την ταχύτητα του αντικειμένου. Αυτό σημαίνει ότι το V είναι η ταχύτητα του πεταμένου αντικειμένου «στο άπειρο».
Ας υποθέσουμε τώρα ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την κινητική ενέργεια του αστεροειδούς K = (1/2) p ^ 2 / m_f για μια δεδομένη εκπομπή κινητικής ενέργειας E = (1/2)? Mu ^ 2. Κατασκευάζουμε μια αναλογία χωρίς διάσταση,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
BTW, είναι σημαντικό να εργαστείτε με αναλογία χωρίς διάσταση. Έτσι το ελαχιστοποιούμε για ένα δεδομένο; m και υπολογίζουμε το u. Έτσι ελαχιστοποιούμε
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
και αυτό είναι μηδέν στο v_e = u. Αυτό φαίνεται λίγο περίεργο δεδομένου του τύπου εξίσωσης πυραύλων, αλλά θα το συζητήσω παρακάτω.
Στη συνέχεια, παίρνουμε το δεύτερο παράγωγο για να προσδιορίσουμε εάν αυτό είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο και παίρνουμε
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
που σε u = v_e είναι -2 <0 και έτσι είναι ένα λεπτό, αυτό που θέλουμε. Είναι επίσης σαφές ότι u = v_e είναι η ελάχιστη κινητική ενέργεια που μπορούμε να προσδώσουμε στη μάζα.
Ακούγεται περίεργο ότι έχουμε v ~ = V (m_i / m_f - 1), το οποίο για V = u - v_e είναι μηδέν στο u = v_e. Ωστόσο, για u = v_e ο αστεροειδής κινείται προς τα έξω έως ότου το πεταμένο αντικείμενο φτάσει στο άπειρο. Ο σκοπός είναι να δημιουργηθεί μια μετατόπιση του αστεροειδούς, και καθώς το εκτοξευμένο αντικείμενο φτάνει στο άπειρο, ο αστεροειδής θα φτάσει σε κάποια απόσταση μετατόπισης μακριά.
LC
